Set of homomorphisms¶
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class
sage.schemes.product_projective.homset.
SchemeHomset_points_product_projective_spaces_field
(X, Y, category=None, check=True, base=Integer Ring)¶ Bases:
sage.schemes.product_projective.homset.SchemeHomset_points_product_projective_spaces_ring
Python constructor.
INPUT:
See
SchemeHomset_generic
.EXAMPLES:
sage: from sage.schemes.generic.homset import SchemeHomset_points sage: SchemeHomset_points(Spec(QQ), AffineSpace(ZZ,2)) Set of rational points of Affine Space of dimension 2 over Rational Field
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points
(B=0, prec=53)¶ Return some or all rational points of a projective scheme.
Over a finite field, all points are returned. Over an infinite field, all points satisfying the bound are returned. For a zero-dimensional subscheme, all points are returned regardless of whether the base ring is a field or not.
INPUT:
- \(B\) – integer (optional, default=0). The bound for the coordinates.
prec
- the precision to use to compute the elements of bounded height for number fields.
OUTPUT:
- a list of rational points of a projective scheme.
Warning
In the current implementation, the output of the [Doyle-Krumm] algorithm cannot be guaranteed to be correct due to the necessity of floating point computations. In some cases, the default 53-bit precision is considerably lower than would be required for the algorithm to generate correct output.
EXAMPLES:
sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1, 1], QQ) sage: X = P.subscheme([x - y, z^2 - 2*w^2]) sage: X(P.base_ring()).points() []
sage: u = QQ['u'].0 sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1,1], NumberField(u^2 - 2, 'v')) sage: X = P.subscheme([x^2 - y^2, z^2 - 2*w^2]) sage: X(P.base_ring()).points() [(-1 : 1 , -v : 1), (1 : 1 , v : 1), (1 : 1 , -v : 1), (-1 : 1 , v : 1)]
sage: u = QQ['u'].0 sage: K = NumberField(u^2 + 1, 'v') sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1, 1], K) sage: P(K).points(1) [(0 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 , v : 1), (0 : 1 , -1 : 1), (0 : 1 , -v : 1), (0 : 1 , 1 : 1), (0 : 1 , 1 : 0), (v : 1 , 0 : 1), (v : 1 , v : 1), (v : 1 , -1 : 1), (v : 1 , -v : 1), (v : 1 , 1 : 1), (v : 1 , 1 : 0), (-1 : 1 , 0 : 1), (-1 : 1 , v : 1), (-1 : 1 , -1 : 1), (-1 : 1 , -v : 1), (-1 : 1 , 1 : 1), (-1 : 1 , 1 : 0), (-v : 1 , 0 : 1), (-v : 1 , v : 1), (-v : 1 , -1 : 1), (-v : 1 , -v : 1), (-v : 1 , 1 : 1), (-v : 1 , 1 : 0), (1 : 1 , 0 : 1), (1 : 1 , v : 1), (1 : 1 , -1 : 1), (1 : 1 , -v : 1), (1 : 1 , 1 : 1), (1 : 1 , 1 : 0), (1 : 0 , 0 : 1), (1 : 0 , v : 1), (1 : 0 , -1 : 1), (1 : 0 , -v : 1), (1 : 0 , 1 : 1), (1 : 0 , 1 : 0)]
sage: P.<x,y,z,u,v> = ProductProjectiveSpaces([2, 1], GF(3)) sage: P(P.base_ring()).points() [(0 : 0 : 1 , 0 : 1), (1 : 0 : 1 , 0 : 1), (2 : 0 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 : 1 , 0 : 1), (1 : 1 : 1 , 0 : 1), (2 : 1 : 1 , 0 : 1), (0 : 2 : 1 , 0 : 1), (1 : 2 : 1 , 0 : 1), (2 : 2 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 : 0 , 0 : 1), (1 : 1 : 0 , 0 : 1), (2 : 1 : 0 , 0 : 1), (1 : 0 : 0 , 0 : 1), (0 : 0 : 1 , 1 : 1), (1 : 0 : 1 , 1 : 1), (2 : 0 : 1 , 1 : 1), (0 : 1 : 1 , 1 : 1), (1 : 1 : 1 , 1 : 1), (2 : 1 : 1 , 1 : 1), (0 : 2 : 1 , 1 : 1), (1 : 2 : 1 , 1 : 1), (2 : 2 : 1 , 1 : 1), (0 : 1 : 0 , 1 : 1), (1 : 1 : 0 , 1 : 1), (2 : 1 : 0 , 1 : 1), (1 : 0 : 0 , 1 : 1), (0 : 0 : 1 , 2 : 1), (1 : 0 : 1 , 2 : 1), (2 : 0 : 1 , 2 : 1), (0 : 1 : 1 , 2 : 1), (1 : 1 : 1 , 2 : 1), (2 : 1 : 1 , 2 : 1), (0 : 2 : 1 , 2 : 1), (1 : 2 : 1 , 2 : 1), (2 : 2 : 1 , 2 : 1), (0 : 1 : 0 , 2 : 1), (1 : 1 : 0 , 2 : 1), (2 : 1 : 0 , 2 : 1), (1 : 0 : 0 , 2 : 1), (0 : 0 : 1 , 1 : 0), (1 : 0 : 1 , 1 : 0), (2 : 0 : 1 , 1 : 0), (0 : 1 : 1 , 1 : 0), (1 : 1 : 1 , 1 : 0), (2 : 1 : 1 , 1 : 0), (0 : 2 : 1 , 1 : 0), (1 : 2 : 1 , 1 : 0), (2 : 2 : 1 , 1 : 0), (0 : 1 : 0 , 1 : 0), (1 : 1 : 0 , 1 : 0), (2 : 1 : 0 , 1 : 0), (1 : 0 : 0 , 1 : 0)]
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class
sage.schemes.product_projective.homset.
SchemeHomset_points_product_projective_spaces_ring
(X, Y, category=None, check=True, base=Integer Ring)¶ Bases:
sage.schemes.generic.homset.SchemeHomset_points
Set of rational points of a product of projective spaces.
INPUT:
See
SchemeHomset_generic
.EXAMPLES:
sage: from sage.schemes.product_projective.homset import SchemeHomset_points_product_projective_spaces_ring sage: SchemeHomset_points_product_projective_spaces_ring(Spec(QQ), \ ProductProjectiveSpaces([1, 1], QQ, 'z')) Set of rational points of Product of projective spaces P^1 x P^1 over Rational Field